1.2方程求根之不定点迭代法-白红宇

1.2方程求根之不定点迭代法

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发布时间：2019-06-28

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前言

本章节讲的是另一种基础的求解方程的方法，不定点迭代法。

（一）不定点迭代法的分析

1.定义：

一般地，为了求解非线性方程：

\[ f(x)=0 \]

将其转换为等价的形式：

\[ x = \varphi(x) \]

其中$\varphi(x) $ 称为迭代函数。由于（1）与（2）具有相同的解：

则构造迭代公式有：

\[ x_{k+1} = \varphi(x_k), k=0,1,2··· \]

给定初值$x_0$ ,并且$\varphi(x)$ 是连续函数，则有：

\[ x^* = \lim_{k \to \infty} x_{k+1} = \lim_{k \to \infty} \varphi(x_{k})= \varphi(\lim_{k \to \infty} x_{k}) = \varphi(x^*) \]

可得$x^*$ 是方程的（4）的解，也是方程（1）$f(x)=0$ 的解。

上面的方法就称为：不定点迭代法

2.条件：

$\varphi(x)$ 在[a,b]内连续，在(a,b)内可导。

对于任意的$x \in [a,b]$ ,则有$\varphi(x) \in [a,b]$

在[a,b]内，存在一个常数L(0<L<1),使得$|\varphi\prime(x)|\leq L < 1$,局部收敛

3.思想：

在收敛函数的前提下，不断的逼近真实值，直到满足我们的精度要求。

如下图，我们可以看到，给定初始值$p_0$后，经过几次的迭代，取值P很逼近两函数的交点，也就是方程的解。

思想.jpg

4.误差：

要使$x^*-x_k \leq \varepsilon$ ，只需要$|x_{k+1}-x_k| \leq \varepsilon$

即可以用迭代前后两次的近似根的绝对值大小，来判断$x_k$使否满足精度要求，从而终止迭代的条件。

（二）代码实现

1.流程图：

不定点迭代法.jpg

2.源代码：

（1）feval函数：

def feval(string, a):    """        根据值来计算数学表达式。    :param string: 含有x未知数的数学表达式    :param a: 自变量x的具体数值    :return:  数学表达式的计算结果    """    count = string.count("x")    string = string.replace('x', '%f')    t = (a, ) * count    result = eval(string % t)    return result

（2）不定点迭代法：

"""    不定点迭代法，不断的逼近求解的方法"""from my_math.func_math import fevaldef item_fun(expr, x_0, r):    """        不定点迭代法求解方程的根    :param expr: 迭代函数的表达式    :param r: 误差    :return: 结果值    """    k = 0    # 第一次两点的差距    x_1 = feval(expr, x_0)    x_2 = feval(expr, x_1)    f_1 = abs(x_2 - x_1)    # 第二次两点的差距    x_1 = feval(expr, x_2)    x_2 = feval(expr, x_1)    f_2 = abs(x_2 - x_1)    # 判断迭代函数是否收敛    if f_1 <=  f_2:        print("函数不收敛")        result = None    else:        while abs(x_2-x_1) > r:            x_1 = feval(expr, x_2)            x_2 = feval(expr, x_1)            k += 1            print('*' * 20)            print("次数", k)            print("x_k", x_1)            print("x_(k+1)", x_2)        result = x_2    print("最后的结果是：", result)    return resultif __name__ == '__main__':    item_fun("1+1/(x**2)", 1.45, 10**-15)    # 最后的结果是： 1.4655713791984073